В работе решена стационарная двумерная задача теплопроводности в прямоугольной области со смешанными граничными условиями (первого, второго и третьего рода), кусочно-постоянным и зависящим от температуры коэффициентом теплопроводности и нелинейным объёмным источником тепла. Цель исследования — разработать и реализовать консервативную разностную схему метода конечных объёмов, провести параметрический анализ решения и оценить влияние плотности расчётной сетки. В первой главе сформулирована математическая постановка задачи, выполнен переход к слабой формулировке в пространстве Соболева, обоснованы существование и единственность слабого решения, рассмотрены принцип максимума и энергетические оценки. Во второй главе построена консервативная дискретная схема интегро-интерполяционного метода Патанкара на равномерной прямоугольной сетке. Для аппроксимации потоков использованы центральные разности, переменный коэффициент теплопроводности учитывался через гармоническое среднее, нелинейный источник линеаризован по Патанкару. Граничные условия аппроксимированы с сохранением консервативности и монотонности схемы. Система линейных уравнений решалась методом TDMA с блочной коррекцией и нижней релаксацией. В третьей главе схема реализована в подпрограмме ADAPT вычислительного комплекса CONDUCT. Проведены расчёты на двух сетках (10×6 и 40×24 контрольных объёмов). Выполнен параметрический анализ влияния плотности теплового потока на нижней границе, интенсивности конвективного теплоотвода на правой границе и свойств зоны с переменными характеристиками. Показано, что в базовом варианте максимальная температура составляет около 160 °C, решение сходится за 5–8 итераций, дискретный тепловой баланс выполняется с невязкой менее 0,5 %. Увеличение теплового потока существенно повышает максимальную температуру и градиенты, усиление конвекции приводит к перераспределению тепловых потоков. Практическая значимость работы заключается в возможности применения разработанной схемы и программной реализации для решения широкого класса задач теплопроводности в неоднородных средах с нелинейными источниками.

The thesis solves a steady two-dimensional heat conduction problem in a rectangular domain with mixed boundary conditions (Dirichlet, Neumann and Robin types), piecewise-constant and temperature-dependent thermal conductivity, and a nonlinear volumetric heat source. The aim of the research is to develop and implement a conservative finite-volume difference scheme, perform a parametric analysis of the solution and assess the influence of the computational grid density. In the first chapter the mathematical statement of the problem is formulated, the transition to the weak formulation in the Sobolev space is carried out, the existence and uniqueness of the weak solution are justified, and the maximum principle together with energy estimates are considered. In the second chapter a conservative discrete scheme of Patankar’s integro-interpolation finite-volume method is constructed on a uniform rectangular grid. Central differences are used for flux approximation, the variable thermal conductivity is treated by the harmonic mean, and the nonlinear source is linearized according to Patankar. Boundary conditions are approximated while preserving conservativeness and monotonicity of the scheme. The resulting system of linear equations is solved by the TDMA method with block correction and under-relaxation. In the third chapter the scheme is implemented as the ADAPT subroutine of the CONDUCT computational complex. Calculations are performed on two grids (10×6 and 40×24 control volumes). A parametric study is carried out of the influence of heat-flux density on the lower boundary, intensity of convective heat removal on the right boundary, and properties of the zone with variable characteristics. It is shown that in the base case the maximum temperature is approximately 160 °C, the solution converges in 5–8 iterations, and the discrete heat balance is satisfied with a residual below 0.5 %. An increase in heat flux significantly raises the maximum temperature and gradients, while stronger convection leads to redistribution of heat fluxes. The practical significance of the work lies in the possibility of applying the developed scheme and software implementation to a wide class of heat-conduction problems in heterogeneous media with nonlinear sources.